Question

3．已知函数f（x）=（cosx+sinx）²+$\sqrt{3}$cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由此能求出f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程．
（2）由f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），得f（x）的单调递减区间满足$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，由此能求出f（x）的单调递减区间．
（3）由0≤x≤$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，由此能求出f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（cosx+sinx）²+$\sqrt{3}$cos2x-1
=1+sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-1
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
图象的对称轴方程为2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
即图象的对称轴方程为x=$\frac{k}{2}π+\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的单调递减区间满足$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ$，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{7π}{12}+kπ$]，k∈Z．
（3）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$时，$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$取最大值1．

点评 本题考查三角函数的最小正周期、对称轴方程、递减区间、最值，是中档题，解题时要注意三角函数恒等式和三角函数图象的性质的合理运用．