Question

在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程.

Answer 1

解:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.

设椭圆方程为=1,分别记M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x₀,y₀).

∵tanα=tan(π-∠MNP)=2,

∴由题设知

解得即P(c,c).

在△MNP中,|MN|=2c,MN上的高为c,∴S_△MNP=×2c×c=1.

∴c=,即P().

∴|PM|==,

|PN|==.

∴a=(|PM|+|PN|)=,

从而b²=a²-c²=3.

故所求椭圆方程为+=1.