Question

从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数，

（1）若3个数能组成等差数列，则这样的等差数列共有_______个；若组成等比数列，则这样的等比数列共有_______个;

（2）若3个数的和是3的倍数，则这样的数组有_______个；若其和是大于10的偶数，则这样的数组有_______个；

（3）若所取三数中每两个数之间至少相隔两个自然数，则这样的数组有_______个.

Answer 1

思路解析：（1）设A={1，3，5，…，19}，B={2，4，…，20}，从A或B中任取两个数总可作等差数列的第一、二项，且等差中项唯一存在，因此所求的等差数列共有2（）＝180个.用列举法：公比是3或的等比数列有4个；公比是2或的等比数列有10个；公比是4或的等比数列有2个，共有等比数列16个.

（2）设A₀={3,6,…,18},A₁={1,4,…,19},A₂={2,5,…,20}，则从每个集合中任取3个数，或每个集合中各取1个数，其和必是3的倍数，故所求的数组共有=384个.

又设A={1,3,5,…,19},B={2,4,…,20}，则从中取3个数且和为偶数的取法有=570种，其中3个数的和不大于10的有6个.故符合条件的数组共有570-6=564个.

（3）运用如下模型：将3个黑球与19个白球排成一排，且每个黑球右边各连排两个白球分别形成一个“位置”，这样只有13个白球与3个“黑白球组合”排在16个“位置”上，排法有，对每种排法中的前20个球从左至右赋值1，2，…，20，则三个黑球上的数即为取出的数，因此所取的数组共有=560个.

答案:(1)180　16　(2)564　(3)560