题目内容
已知函数f（x）=x2-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2013的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
分析：利用导数的几何意义求b，然后通过数列{
}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S2013的值．
| 1 |
| f(n) |
解答：解：∵f（x）=x2-ax，
∴f′（x）=2x-a，
根据导数的几何意义，
∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
∵函数f（x）=x2-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，
∴（2-a）×(-
)=-1，
∴a=-1，
∴f（x）=x2+x，
∴f（n）=n2+n=n（n+1），
∴
=
=
-
，
∴S2013=（1-
）+（
-
）+…+（
-
）
=1-
=
，
∴S2013=
．
故选D．
∴f′（x）=2x-a，
根据导数的几何意义，
∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
∵函数f（x）=x2-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y=0垂直，
∴（2-a）×(-
| 1 |
| 3 |
∴a=-1，
∴f（x）=x2+x，
∴f（n）=n2+n=n（n+1），
∴
| 1 |
| f(n) |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴S2013=（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2013 |
| 1 |
| 2014 |
=1-
| 1 |
| 2014 |
=
| 2013 |
| 2014 |
∴S2013=
| 2013 |
| 2014 |
故选D．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．常见的数列求和的方法有：分组求和法，裂项法，错位相减法，倒序相加法．要根据具体的通项公式的特点进行判断该选用什么方法进行求和．本题利用裂项法求数列的和，考查学生的综合能力．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|