题目内容

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b²=ac，cosB= $数学公式$ ．
（1）求 $数学公式$ + $数学公式$ 的值；
（2）设 $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ ，求边b的长度．

解：（1）由cosB= $\text{[math]}$ 可得，
sinB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵b²=ac，
∴根据正弦定理可得
sin²B=sinAsinC．
又∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
得| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosB=accosB= $\text{[math]}$ ，
又∵cosB= $\text{[math]}$ ，
∴b²=ac=2，
∴b= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过cosB求出sinB，利用正弦定理得到sin²B=sinAsinC．通过切化弦，两角和的正弦函数化简 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，即可求出表达式的值；
（2）通过 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出ac的值，即可求边b的长度．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和与正弦定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用．