Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足，且

（I）试求出S₁，S₂，S₃的值；

（Ⅱ）根据S₁，S₂，S₃的值猜想出S_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

考点：

数学归纳法；数列的求和；归纳推理．

专题：

等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：

（I）由题设可得求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜测

（Ⅱ）利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．

解答：

解：S₁=a₁=，

S₂=S₁+=，

S₃=S₂+=

（Ⅱ）由（I）猜想

①当n=1时，左边=S₁=a₁=，右边==，等式成立．

②假设n=k时等式成立，即

则当n=k+1时，左边===

即当n=k+1时，等式成立．

由①②可知，当时对任意正整数n都成立．

点评：

本题的考点是数学归纳法，主要考查已知数列的递推关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．证明当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．