题目内容
【题目】已知圆
过点
，且圆心在直线
上，过点
的直线交圆于
两点，过点分别做圆的切线，记为
.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）直线
的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为
.
【解析】
（Ⅰ）设圆
的方程为
弦
的中点
，又
，故的垂直平分线的方程
因为圆心
是的垂直平分线与直线
的交点，由
，得
，即圆心
又半径
，即可得到圆的方程；
（Ⅱ）设
，直线的交点
若
为直线
上任意一点，则
,得 
∴
，即
处的圆的切线方程
同理可得，在点
处的圆的切线方程为
由直线过点
可推出点
满足方程
即直线
的方程为 ，
又
直线过点
即
由此可得到直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为
.
（Ⅰ）设圆的方程为
弦的中点
又
∴的垂直平分线的方程：
即
圆心是的垂直平分线与直线的交点
∴由，得，即圆心
又半径
∴圆的方程为
（Ⅱ）设，直线的交点
若为直线上任意一点，则
,得
，
∵
∴，即处的圆的切线方程
同理可得，在点处的圆的切线方程为
由直线过点
∴
,
,
∴点满足方程
即直线的方程为 ，
又直线过点
∴
，即
∴直线的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为.
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