Question

【题目】已知等比数列{an}满足an+1+an=92n﹣1 ， n∈N* ．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn ， 若不等式Sn＞tan﹣1，对一切n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，{an}是等比数列，

∵an+1+an=92n﹣1，n∈N*．

可得a1+a2=9，a2+a3=18，

即a1+a1q=9， ，

解得：a1=3，q=2．

∴an= =32n﹣1

（2）解：等比数列的前n项和Sn= =32n﹣3．

不等式Sn＞tan﹣1，对一切n∈N*恒成立，即 ＞t对一切n∈N*恒成立．

∵ = 是递增函数，

∴当n=1时，即 取得最小值为 ．

∴t ．

即实数t的取值范围（﹣∞， ）

【解析】（1）根据题中的递推公式，表示a1，a2，a3之间的关系，由等比数列的通项公式解出首项a1，公比q，从而得出an的通项公式，（2）不等式Sn＞tan﹣1，对一切n∈N*恒成立，即 ＞t对一切n∈N*恒成立，根据递增函数的性质即可得出t的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．