Question

【题目】在①，且，②，且，③，且这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出和数列的通项公式与前项和；若不存在，请说明理由.

设为各项均为正数的数列的前项和，满足________，是否存在，使得数列成为等差数列？

Answer 1

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】

由，用换后得，两式相减得，若选择①，由可求得等差数列的通项公式及值，前项和；若选择②，由得和的关系式，作为关于的二次方程，至少有正根，由根的分布得其条件是，得出与已知矛盾的结论，说明不存在；若选择③，由，同样可求和．

解：选择①，

因为，所以，两式相减，得

，

即，又，所以，

因为，且，所以，

由，得，即，

把代入上式，得，

当时，由及，得，

所以，，满足，可知数列是以3为首项，以2为公差的等差数列.

数列的通项公式为，

数列的前项和为.

选择②，

因为，所以，两式相减，得

，

即，又，所以，

由，得，即，

因为已知数列的各项均为正数，所以，

因为关于的一元二次方程至少存在一个正实数解的充要条件是

，

解得，

这与已知条件矛盾，所以满足条件的不存在.

（注：若存在两个实数解分别为，，则，，

当时，的解一正一负；当时，的解一正一零；

当时，的解均为正.

所以方程至少存在一个正实数解，当且仅当.）

选择③，因为，所以，两式相减，得

，

即，又，所以，

由，得，又已知，

所以，，

由，得，，所以，

当时，由及得，

由，及，得，

所以和满足，

可知数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，

数列的通项公式为，

数列的前项和为.