Question

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）任意作直线l（与x轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N，与y轴交于R点．若，，证明：λ+μ 为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用P是线段AB的中点，可得，进而可得，利用，即可求得动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程代入椭圆方程，消去y并整理，利用韦达定理及，，可得，，化简可得结论．
解答：解：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是线段AB的中点，∴                           …（2分）
∵A、B分别是直线 和 上的点，
∴ 和．
∴                                …（4分）
又，∴．                  …（5分）
∴，∴动点P的轨迹C的方程为．      …（8分）
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，…（10分）
∴，①．    ②…（12分）
∵，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即，∴x₃=λ（1-x₃）．
∵l 与x 轴不垂直，∴x₃≠1，
∴，同理．                           …（14分）
∴λ+μ====-．
∴为定值．                  …（16分）
点评：本题考查动点的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定λ、μ的值是关键．