Question

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点M是椭圆上的动点N（0，），求|MN|的最大值．
（3）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知：2a=4，即a=2，将点（1，）代入椭圆方程可求得b²，由此能得到椭圆方程．
（2）设M（x，y），|MN|=，由点M在椭圆上得，消掉x，从而|MN|可变为关于y的函数，借助二次函数性质即可求得其最大值；
（3）设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），则S△F1PQ=•|F₁F₂|•|y₁-y₂|，易求直线PQ方程，与椭圆联立方程组，|y₁-y₂|=，用韦达定理即可求得．
解答：解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，
将点（1，）代入椭圆方程得+=1，解得b²=3，
∴c²=a²-b²=4-3=1，故椭圆方程为；
（2）设M（x，y），则，，
所以|MN|===，
又-≤，
所以当时|MN|取得最大值为；
（3）由（1）知A（-2，0），B（0，），∴k_PQ=k_AB=，
∴PQ所在直线方程为y=（x-1），
由得 8y²+4y-9=0，
设P （x₁，y₁），Q （x₂，y₂），则y₁+y₂=-，y₁y₂=-，
∴|y₁-y₂|===，
∴S△F₁PQ=|F₁F₂|•y₁-y₂|=×2×．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆C的方程和求△F₁PQ的面积．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．