题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论①△ABC的边长可以组成等差数列②| AC |
| AB |
| A |
| 7 |
| B |
| 5 |
| C |
| 3 |
15
| ||
| 4 |
分析：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分别求出a、b、c的值，即可判断2b与a+c相等得到三边成等差数列，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A为钝角，利用平面向量的数量积得运算法则求出
•
的值，并根据面积公式即可求出三角形ABC的面积，再与题目进行比较即可．
| AC |
| AB |
解答：解：由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
则a=
k，b=
k，c=
k，
∴a：b：c=7：5：3，∴2b=a+c，
即△ABC的边长可以组成等差数列，故①正确；
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，故③错误；
又cosA=
=
=-
＜0，
∴△ABC为钝角三角形，∴
•
=bccosA＜0，故②正确；
若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S△ABC=
bcsinA=
，故④正确；
所以正确的结论序号是：①②④．
故答案：①②④
则a=
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴a：b：c=7：5：3，∴2b=a+c，
即△ABC的边长可以组成等差数列，故①正确；
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，故③错误；
又cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| ||||||
2×
|
| 1 |
| 2 |
∴△ABC为钝角三角形，∴
| AC |
| AB |
若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
| 3 |
所以正确的结论序号是：①②④．
故答案：①②④
点评：本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的运用，利用三角形的面积公式求解面积，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |