Question

如图，已知地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A（东20°，北60°），B（东140°，北60°），C（东140°，南30°），试求A、B两点与B、C两点及A、C两点的球面距离.

Answer 1

解析：∵A、B纬度相同，

∴A、B在同一纬线上，设纬线圆心为O₁，则∠AO₁B=120°.

∵平面ABO₁与赤道平面平行.

∴∠OAO₁=∠OBO₁=60°.

∴O₁A=O₁B=Rcos60°=R.

在△AO₁B中，由余弦定理，得

AB²=O₁A²+O₁B²-2O₁A·O₁Bcos120°=R².

在△AOB中，cos∠AOB=.

∴A、B两点的球面距离等于Rarccos.

∵B、C两点在同一经线上，经度差为90°，即∠BOC=90°，

∴B、C两点的球面距离为R.

∵纬线圆面互相平行，

∵O₁、O、O₂三点共线

∴O₁O₂=O₁O+OO₂=Rsin60°+Rsin30°=R.O₂C=Rcos30°=R，连AC，则可知A、C两点经度差为θ=120°，根据异面直线两点间的距离公式，可得

AC²=O₁O₂²+O₁A²+O₂C²-2O₁A·O₂C·cos120°=R².

∴在△AOC中，由余弦定理，得

cosAOC=.∴∠AOC=π-arccos.

∴A、C两点的球面距离为(π-arccos)R.