Question

在（x+1）⁹的二项展开式中任取2项，p_i表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率．若用随机变量ξ表示取出2项中系数为奇数的项数i，则随机变量ξ的数学期望Eξ=（　　）

• A、

  8

  15

• B、

  2

  3

• C、

  13

  15

• D、

  4

  5

Answer 1

分析：由（x+1）⁹的二项展开式中二项式的系数分别为：

C

0 9

，

C

1 9

，…，

C

9 9

．其中奇数有4个：

C

0 9

，

C

1 9

，

C

8 9

，

C

9 9

，偶数由6个：

C

2 9

，

C

3 9

，

C

4 9

，

C

5 9

，

C

6 9

，

C

7 9

．可得从10二项式系数中任取一个数是奇数的概率p=

4

10

=

2

5

．可知：ξ～B（2，

2

5

），进而得到数学期望．

解答：解：（x+1）⁹的二项展开式中二项式的系数分别为：

C

0 9

，

C

1 9

，…，

C

9 9

．其中奇数有4个：

C

0 9

=

C

9 9

=1，

C

1 9

=

C

8 9

=9，偶数由6个：

C

2 9

=

C

7 9

=36，

C

3 9

=

C

6 9

=84，

C

4 9

=

C

5 9

=126．
因此从10二项式系数中任取一个数是奇数的概率p=

4

10

=

2

5

．
可知：ξ～B（2，

2

5

），
∴随机变量ξ的数学期望Eξ=2×

2

5

=

4

5

．
故选D．

点评：本题考查了二项式定理、二项分布列及其数学期望，属于中档题．