Question

设函数f(x)=x-

x

．
（1）求使得f（x）＞0成立的x的取值范围；
（2）判断f（x）在区间(

1

4

，+∞)上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）将函数代入，解不等式，即可求得使得f（x）＞0成立的x的取值范围；
（2）f（x）在区间(

1

4

，+∞)上单调递增，再利用定义加以证明．

解答：（1）解：f（x）＞0，即x-

x

＞0，即

x

(

x

-1)＞0
∴

x

＞1，∴x＞1
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（1，+∞）；
（2）解：f（x）在区间(

1

4

，+∞)上单调递增，
证明：设x₁＞x₂＞

1

4

，则f（x₁）-f（x₂）=x1-

x1

-x2+

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1 + x2

)
∵x₁＞x₂＞

1

4

，∴x₁-x₂＞0，1-

1

x1 + x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间(

1

4

，+∞)上单调递增．

点评：本题重点考查解不等式，考查函数的单调性的判断与证明，利用定义证明函数单调性的步骤为：取值、作差、变形、定号下结论．