Question

求函数f（x）=sinx•cosx+sinx+cosx的最大值及相对应的x的值．

Answer 1

分析：令sinx+cosx=t，根据正弦型函数的性质可得t∈[-

2

，

2

]，结合sinx•cosx=

t2-1

2

，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题．

解答：解：令sinx+cosx=t，
则t=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]且sinx•cosx=

t2-1

2

…4分
∴y=

t2-1

2

+t=

1

2

t2+t-

1

2

=

1

2

(t+1)2-1…6分
函数图象的对称轴为t=-1，∴t=

2

时，ymax=

2 2 +1

2

此时

2

sin(x+

π

4

)=

2

∴sin(x+

π

4

)=1
∴x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z…8分
∴x=2kπ+

π

4

，k∈Z…10分

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，三角函数中的恒等变换应用，其中将函数的解析式利用换元法转化为二次函数的形式是解答本题的关键．