Question

10．若数列{a_n}满足：a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1-a_n=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，则a₂₀₀₇=1343352．

Answer 1

分析 a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1-a_n=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，可得a₂=2=$\frac{6}{3}$，a₃=4=$\frac{12}{3}$，a₄=$\frac{20}{3}$，…，猜想a_n=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，并验证即可．

解答 解：∵a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1-a_n=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，
可得a₂=2=$\frac{6}{3}$，a₃=4=$\frac{12}{3}$，a₄=$\frac{20}{3}$，…，
猜想a_n=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，
代入a_n+1-a_n=$\sqrt{\frac{2}{3}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$，验证满足条件．
∴a_n=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，
∴a₂₀₀₇=$\frac{200{7}^{2}+2007}{3}$=1343352．
故答案为：1343352．

点评 本题考查了递推式的应用、猜想归纳能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．