题目内容
已知函数y=f(x)满足a=(x2,y),b=(x
,-1),且a·b=-1.如果存在正项数列{an}满足:a1=
,f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a13+a23+a33+…+an3-n2an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项;
(2)求证:
+
+
+…+
＜1;
(3)求证:
+
+
+…+
＜1+
.
(1)解:∵a·b=-1,∴y=f(x)=x3-x+1(x≠0).
∵f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a13+a23+a33+…+an3-n2an(n∈N*),
∴代入得a1+a2+a3+…+an=n2an.①
又a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2an-1,②
①-②,得.则an=···…·(n∈N*).
(2)证明:由(1)得()=-()＜-()=(
-
)+(
)(i＞1).∴
+
+
+…+
＜
+［(
)-(
)］+［(
)-(
)］+［(
)
)］+…+［(
)-(
)］=
+
-(
)=1+
=1
＜1.
(3)证明:由(1)得
＜
=
,
∴
＜
,而
=
＜
·
＜
·
=
(i≥2).
∴
+…+
＜
+(
)+(
)+…+(
)＜
+1+
＜1+
.
练习册系列答案
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案
相关题目
已知函数y=f(x+
)为奇函数，设g（x）=f（x）+1，则g(
)+g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)=（ ）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2011 |
| 2 |
| 2011 |
| 3 |
| 2011 |
| 4 |
| 2011 |
| 2010 |
| 2011 |
| A、1005 | B、2010 |
| C、2011 | D、4020 |