Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，圆x²+y²=4．直线y=2x与椭圆交于点A，过A作椭圆的切线交圆于M，N两点（M在N的左侧），则|MF₁|•|NF₂|=

3

．

Answer 1

分析：椭圆方程与直线y=2x联解，可得它们在第一象限的交点为A（

12 19

，

48 19

）．直线MN与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1相切于A点，利用根的判别式算出切线方程为y=-

3

8

x+

57

4

，再将切线方程与圆x²+y²=4消去y得关于x的一元二次方程：

73

64

x²-

3 57

16

x-

7

16

=0．最后利用根与系数的关系和两点的距离公式加以计算，化简可得|MF₁|•|NF₂|的值．

解答：解：由

x2 4 + y2 3 =1 y=2x

，解得x²=

12

19

，y²=

48

19

．
直线y=2x与椭圆交于点A，设A为第一象限的交点，如图所示
则A（

12 19

，

48 19

），
设椭圆经过A点的切线为：y-

48 19

=k（x-

12 19

），
与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1联解，消去y得
（3+4k²）x²-8

12 19

（k²+2k）x+

48

19

（k+2）²-12=0．
由△=64×

12

19

（k²+2k）²-4（3+4k²）[

48

19

（k+2）²-12]=0，
解得k=-

3

8

．
∴切线方程为y-

48 19

=-

3

8

（x-

12 19

），即y=-

3

8

x+

57

4

由

x 2+y 2=4 y=- 3 8 x+ 57 4

消去y，得

73

64

x²-

3 57

16

x-

7

16

=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

12 57

73

，x₁x₂=-

28

73

．
∴结合x₁＜x₂，得x₂-x₁=

(x 1+x 2)2-4x1x2

=

128

73

．
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴（|MF₁|•|NF₂|）²=[（x₁+1）²+y₁²]•[（x₂-1）²+y₂²]
=[（x₁²+y₁²）+2x₁+1][（x₂²+y₂²）-2x₁+1]=（5+2x₁）（5-2x₂）
=25-10（x₂-x₁）-4x₁x₂=25-10×

128

73

+4×

28

73

=9．
因此|MF₁|•|NF₂|=3．
故答案为：3

点评：本题着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线与圆的方程和两点的距离公式等知识，同时考查了转化化归与函数方程的数学思想，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．