Question

已知首项为的等比数列{a_n}不是递减数列，其前n项和为S_n（n∈N^*），且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{T_n}的最大项的值与最小项的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设等比数列的公式为q，由S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列{a_n}不是递减数列，求出q值，可得答案．
（II）由（I）可得S_n的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．
解答：解：（I）设等比数列的公式为q，
∵S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
∴S₅+a₅-（S₃+a₃）=S₄+a₄-（S₅+a₅）
即4a₅=a₃，
故q²==
又∵数列{a_n}不是递减数列，且等比数列的首项为
∴q=-
∴数列{a_n}的通项公式a_n=×（-）^n-1=（-1）^n-1•
（II）由（I）得
S_n=1-（-）ⁿ=
当n为奇数时，S_n随n的增大而减小，所以1＜S_n≤S₁=
故0＜≤=-=
当n为偶数时，S_n随n的增大而增大，所以1＞S_n≥S₂=
故0＞≥=-=
综上，对于n∈N^*，总有≤≤
故数列{T_n}的最大项的值为，最小项的值为
点评：本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．