Question

2．已知函数f（x）=sinxcos（$\frac{3}{2}$π+x）+$\sqrt{3}$cosxsin（π+x）+sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x为何值时，f（x）有最大值？

Answer 1

分析 利用诱导公式与二倍角公式化简．
（1）直接利用周期公式求得周期；
（2）由2x的终边在y轴负半轴上列式求得使f（x）取最大值的x值．

解答 解：∵f（x）=sinxcos（$\frac{3}{2}$π+x）+$\sqrt{3}$cosxsin（π+x）+sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx
=sin²x$-\sqrt{3}sinxcosx$+cos²x=1$-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$．
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）当sin2x=-1，即2x=-$\frac{π}{2}+2kπ$，x=$-\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$时，
f（x）有最大值1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．