Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁=1，则三棱锥A₁-ABC的体积为（　　）

• A．

  2

  4

• B．

  2

  6

• C．

  2

  12

• D．

  2

  18

Answer 1

分析：由已知中∠BAC=90°，且AB=AC=1，可求出底面面积，根据AA₁与AC、AB所成角均为60°，AA₁=1，可求出棱锥A₁-ABC的高，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：解：∵在底面△ABC中∠BAC=90°，且AB=AC=1，
∴S_△ABC=

1

2

令AA₁在底面△ABC上的投影交BC于D，则AD为∠BAC的角平分线
则AA₁与底面△ABC的夹角为∠A₁AD
由三余弦定理可得：cos∠A₁AC=cos∠A₁AD•cos∠DAC
即

1

2

=cos∠A₁AD•

2

2

∴cos∠A₁AD=

2

2

则sin∠A₁AD=

2

2

又∵AA₁=1，
∴三棱锥A₁-ABC的高h=sin∠A₁AD•AA₁=

2

2

故三棱锥A₁-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC•h=

2

12

故选C

点评：本题考查的知识点是三棱锥的体积，熟练掌握三棱锥的体积公式是解答的关键．