Question

如图所示，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），且过点(

2

，

6

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），且过点(

2

，

6

2

)．我们可得c=1，进而求出b²，a²的值，即可得到椭圆C的方程；
（2）（i）由题可设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），则

m2

4

+

n2

3

=1，进而求出AF与BN的方程，设M（x₀，y₀），可得x₀=

5m-8

2m-5

，y₀=

3n

2m-5

代入椭圆方程可得结论．
（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，代入椭圆方程得（3t²+4）y²+6ty-9=0，设A（x₁，y₁）、M（x₂，y₂），则有y₁+y₂=

-6t

3t2+4

，y₁•y₂=

-9

3t2+4

，进而|y₁-y₂|的最大值，进而，根据△AMN的面积S△AMN=

1

2

|NF|•|y₁-y₂|可得答案．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），
∴c=1，
又∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1过点(

2

，

6

2

)
∴

2

b2+1

+

3

2b2

=1，
解得b²=3，a²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（2）（i）证明：由题意得F（1，0）、N（4，0）．
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），

m2

4

+

n2

3

=1
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）+（m-4）y=0．
设M（x₀，y₀），则有
n（x₀-1）-（m-1）y₀=0，且n（x₀-4）+（m-4）y₀=0．
由上得x₀=

5m-8

2m-5

，y₀=

3n

2m-5

                      …（6分）
由于

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=

(5m-8)2

4(2m-5)2

+

(3n)2

3(2m-5)2

=

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m2

4(2m-5)2

=1
所以点M恒在椭圆C上．             …（8分）
（ⅱ）解：设AM的方程为x=ty+1，代入

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3t²+4）y²+6ty-9=0
设A（x₁，y₁）、M（x₂，y₂），则有y₁+y₂=

-6t

3t2+4

，y₁•y₂=

-9

3t2+4

，．
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 t2+1

3t2+4

．…（10分）
令

t2+1

=λ（λ≥1），则
|y₁-y₂|=

12λ

3λ2+1

=

12

3λ+ 1 λ

因为函数y=3λ+

1

λ

在[1，+∞）为增函数，
所以当λ=1即t=0时，函数y=3λ+

1

λ

有最小值4．
即t=0时，|y₁-y₂|有最大值3，
△AMN的面积S△AMN=

1

2

|NF|•|y₁-y₂|有最大值 

9

2

．…（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．