题目内容

精英家教网如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2，短轴两个端点为A、B．已知|
OB
|、|
F1B
|、
|F1F2
|成等比数列，|
F1B
|-
|F1F2
|=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1•k2=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当弦MN的中点P落在四边形F1AF2B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．
分析：（Ⅰ）根据题意可知
|OB|
和
|F1B|
，通过|
OB
|、|
F1B
|、
|F1F2
|成等比数列推断出a2=2bc，进而根据a，b和c的关系求得a和b的关系，利用
F1B•
F1F2
=2求得b，则a可求，椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，和M，N的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用k1•k2=
3
2
求得b，进而可求得直线l与y轴相交的点．
（III）由（Ⅱ）中的一元二次方程可求得判别式大于0求得k的范围，设弦AB的中点P坐标则可分别表示出x0和y0，p点在x轴上方，只需位于三角形MF1F2内就可以，进而联立不等式组，求得k的范围．
解答：解：（Ⅰ）易知
|OB|
=b
|F1B|
=a、
|F1F2|
=2c（其中c=
a2-b2
），
则由题意知有a2=2bc．又∵a2=b2+c2，联立得b=c．∴a=
2
b．
∵
|F1B|
•
|F1F2|
= 2，∴2accos45°=2
∴b2=1a2=2．
故椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，M、N坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）．
由
x2
2
+y2=1
y=kx+b
?（1+2k2）x2+4kbx+2b-2=0．
∴x2+x1=-
4kb
1+2k2
，x1x2=
2b2-2
1+2k2
．
∵k1=
y1+1
x1
，k2=
y2+1
x2
．
∴k1k2=
(k1+1+b)
x1
•
(kx2+1+b)
x2
=
k2x1x2+(1+b)k(x1+x2)+(1+b)2
x1x2
=
3
2

将韦达定理代入，并整理得
2k2(b-1)-4k2b+(1+2k2) (b+1)
b-1
=3，解得b=2．
∴直线l与y轴相交于定点（0，2）．

（III）由（Ⅱ）中（1+2k2）x2+8kx+6=0，其判别式△＞0，得k2＞
3
2
．①
设弦AB的中点P坐标为（x0，y0），则x0=-
4kb
1+2k2
，y0=k0+2=
2
1+2k2
＞0，
∴p点在x轴上方，只需位于三角形MF1F2内就可以，即满足
y0≤x0+1
y0≤-x0+1
将坐标代入，整理得
2k2-4k+1≥0
2k2+4k+1≥0

解得
k≥1+
6
2
或k≤1-
6
2
k≥-1+
6
2
或 K≤-1-
6
2
②
由①②得所求范围为k≥1+
6?
2
或K≤-1-
6?
2
．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生转化与化归思想的运用和基础知识的熟练掌握．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2，短轴两个端点为A、B．已知|
OB
|、|
F1B
|、
|F1F2
|成等比数列，|
F1B
|-
|F1F2
|=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1•k2=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知半椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（
6
3
，-
3
3
）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的方程为
y2
2
+x2=1（y≥0）
y2
2
+x2=1（y≥0）
．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0）右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B，与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1，k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；     
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．

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