Question

（2013•黄浦区二模）已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，A1D=

13

．
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E为线段A₁D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）题目给出的是正四棱柱，给出了底面边长和一条侧面对角线的长，所以先求出正四棱柱的侧棱长，也就是四棱柱的高，直接利用侧面积公式及体积公式求解该四棱柱的侧面积与体积；
（2）在平面ADD₁A₁内过E作EF⊥AD，由面面垂直的性质可得EF⊥底面ABCD，连接BF后，则∠EBF为要求的线面角，然后通过求解直角三角形求出∠EBF的正切值，利用反三角函数可表示出要求的角．

解答：解：（1）根据题意可得：在 Rt△AA₁D中，
AA1=

A1D2-AD2

=

( 13 )2-22

=3．
所以正四棱柱的侧面积S=（2×3）×4=24．
体积V=2×2×3=12；
（2）如图，

过E作EF⊥AD，垂足为F，连结BF，则EF⊥平面ABCD，
∵BE?平面ABCD，∴EF⊥BF
在 Rt△BEF中，∠EBF就是BE与平面ABCD所成的角
∵EF⊥AD，AA₁⊥AD，∴EF∥AA₁，
又E是A₁D的中点，∴EF是△AA₁D的中位线，
∴EF=

1

2

AA1=

3

2

在 Rt△AFB中，BF=

AF2+AB2

=

12+22

=

5

∴tan∠EBF=

EF

BF

=

3 2

5

=

3 5

10

．
∴∠EBF=arctan

3 5

10

．

点评：本题考查了柱体的侧面积与体积，考查了线面角，解答此题的关键是利用面面垂直的性质定理找到线面角，此题属中档题．