题目内容

如图，在△ABC中，|
BC
|=3
2
，|
CA
|=4，|
AB
|=2
3
，PQ是以A为圆心，
2
为半径的圆的直径，求
BP
•
CQ
的最大值和最小值．
分析：利用余弦定理求出A的余弦函数值，利用向量三角形法则转化
BP
•
CQ
为已知向量的关系，确定
CB
与
AP
方向相同或相反时，求出数量积的最值．
解答：解：在△ABC中，cosA=
42+(2
3
)2-(3
2
)2
2×4×2
3
=
5
8
3
-----------（2分）
BP
•
CQ
=(
AP
-
AB
)•(
AQ
-
AC
)=(
AP
-
AB
)•(-
AP
-
AC
)
=-
AP
2+(
AB
-
AC
)
•AP
+
AB
•
AC

=-
AP
2+
CB
•AP
+
AB
•
AC
--------（6分）
∵
AP
2=2，
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cosA
=4×2
3
×
5
8
3
=5----------（8分）
∴
BP
•
CQ
=-2+
CB
•
AP
+5=3+|
CB
|•|
AP
|cosθ
=3+3
2
×
2
cosθ=3+6cosθ---（10分）
当
CB
与
AP
方向相同时，
BP
•
CQ
取得最大值9，此时
PQ
与
BC
的方向相同；------（11分）
当
CB
与
AP
方向相反时，
BP
•
CQ
取得最小值-3，此时
PQ
与
BC
的方向相反------（12分）
点评：本题考查向量数量积的应用，向量在几何中的应用，考查转化思想以及计算能力．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直径BE的长；
（2）计算：△ABC的面积．
精英家教网如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，则sinC的值为（　　）
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6
如图，在△ABC中，设
AB
=a，
AC
=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
S平行四边形ANPM
S△ABC
．
如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的长．
如图，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，则
AD
=（　　）

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