Question

（1）设全集U=Z，集合A={x²，2x-1，-4}，B={x-5，1-x，9}，若A∩B={9}，求A∪B，（?_UA）∩B；
（2）求函数f(x)=(

1

2

)x2-2x+4的定义域和值域．

Answer 1

分析：（1）由于A∩B={9}，可得x²=9或2x-1=9，解得x=±3，x=5．利用集合的互异性可知：只有当x=-3时，A={9，-7，-4}，B={-8，4，9}，满足条件．即可得出A∪B，（?_UA）∩B．
（2）由于函数f(x)=(

1

2

)x2-2x+4，可得函数f（x）的定义域为R．利用x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，和指数函数的单调性即可得出0＜f(x)≤(

1

2

)3．

解答：解：（1）∵A∩B={9}，∴x²=9或2x-1=9，
解得x=±3，x=5．
①当x=3时，x-5=-2，1-x=-2，应舍去；
②当x=5时，x²=2x-1=9，应舍去；
③当x=-3时，A={9，-7，-4}，B={-8，4，9}，满足条件．
因此A∪B={9，4，-4，-7，-8}，（?_UA）∩B={-8，4}．
（2）∵函数f(x)=(

1

2

)x2-2x+4，∴函数f（x）的定义域为R．
∵x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，∴0＜f(x)≤(

1

2

)3=

1

8

．
因此函数f（x）的值域为(0，

1

8

]．

点评：本题考查了指数函数的单调性、二次函数的单调性、集合的运算及其性质，属于中档题．