Question

【题目】已知函数， ．

（1）求函数的极值；

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由题意的，求得，分类讨论得到函数的单调性，即可确定函数的极值；

（2）设，得到，令，则， ，

求得，得到的单调性和值域，进而分类讨论，得到的最小值，得到实数的取值范围．

试题解析：

（1），

，

∵的定义域为．

①即时， 在上递减， 在上递增，

， 无极大值．

②即时， 在和上递增，在上递减，

， ．

③即时， 在上递增， 没有极值．

④即时， 在和上递增， 在上递减，

∴， ．

综上可知： 时， ， 无极大值；

时， ， ；

时， 没有极值；

时， ， ．

（2）设 ， ，

设，则， ， ，

∴在上递增，∴的值域为，

①当时， ， 为上的增函数，

∴，适合条件．

②当时，∵，∴不适合条件．

③当时，对于， ，

令， ，

存在，使得时， ，

∴在上单调递减，∴，

即在时， ，∴不适合条件．

综上， 的取值范围为．