Question

函数f（x）=ax（x-2）²（a≠0）有极大值

16

9

，则a等于（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：利用导数分a＞0，a＜0两种情况求得f（x）的极大值，使其等于

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9

，解此方程即可求得a值．

解答：解：f′（x）=a（x-2）（3x-2），
（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜

2

3

或x＞2；由f′（x）＜0得

2

3

＜x＜2，
所以f（x）在（-∞，

2

3

），（2，+∞）上单调递增，在（

2

3

，2）上单调递减；
此时，当x=

2

3

时f（x）取得极大值f（

2

3

）=

2

3

a（

2

3

-2）²=

16

9

，解得a=

3

2

；
（2）当a＜0时，由f′（x）＜0得x＜

2

3

或x＞2；由f′（x）＞0得

2

3

＜x＜2，
所以f（x）在（-∞，

2

3

），（2，+∞）上单调递减，在（

2

3

，2）上单调递增；
此时，当x=2时f（x）取得极大值f（2）=2a（2-2）²=

16

9

，无解；
综上所述，所求a值为

3

2

．
故选B．

点评：本题考查利用导数求函数极值问题，属基础题，熟练掌握函数在某点取得极值的条件是解决该类问题的关键．