Question

【题目】在矩形中， ， 是边的中点，如图（1），将沿直线翻折到的位置，使，如图（2）.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）已知， ， 分别是线段， ， 上的点，且， ， 平面，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明平面，从而可得，由平面几何知识可得，由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PCE，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以点为原点，分别以， 所在直线为， 轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：连结，由题意可知.

又因为， ， ， 平面，

所以平面.

又因为平面，

所以.

又因为在矩形中， ，

所以.

又因为， ， 平面，

所以平面.

又因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）在图（2）中，以点为原点，分别以， 所在直线为， 轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示.

由题意可知， ， ，

取的中点，连结.

由（Ⅰ）可知平面平面.

又因为，所以.

又因为平面平面，

所以平面.

可得.

又因为，所以.

因为，可得.

设，可得.

所以.

又因为， ，

设平面的法向量为，

则令，可得，

所以

因为平面，所以，可得.

所以.

由（Ⅰ）可知平面，所以是平面的一个法向量， .

可得.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.