题目内容

已知函数

（Ⅰ）①判断函数的奇偶性，并加以证明；

②若（-1，1），计算；

（Ⅱ）若函数在上恒有零点，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若n为正整数，求证：.

【答案】

解：（Ⅰ）①由

的定义域为（-1，1），关于原点对称。又对于定义域内的任意x，

（2分）

为奇函数（3分）

②

（5分）

（Ⅱ）由题意，得方程在上恒有实数解，

因在上为减函数，y=-x也为减函数。

在上为减函数，故满足条件。（9分）

（Ⅲ）方法一：在（-1，1）上单调递减。

由（Ⅰ）知在（-1，1）内为奇函数且时，

则：

（12分）

∵n为正整数，有

故（14分）

方法二： (11分）

∴

故不等式得证

【解析】略

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．
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（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且

=0，求D²+E²-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
断点O、G、H是否共线，并说明理由．

（2012•江西）若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）=(

（λ＞-1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=

（n∈N₊）时h（x）的中介元为x_n，且S_n=

xi，若对任意的n∈N₊，都有S_n＜

，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围．

若函数h(x)满足

（1）h(0)=1，h(1)=0；

（2）对任意，有h(h(a))=a；

（3）在（0,1）上单调递减。则称h(x)为补函数。已知函数

（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；

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（3）当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。

（理）已知函数 $数学公式$ ．
（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
（3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
{a_n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
（文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
（1）求证：F＜0；
（2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且 $数学公式$ ，求D²+E²-4F的值；
（3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
断点O、G、H是否共线，并说明理由．

若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数。
已知函数h（x）=

（λ＞-1，p＞0）。
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=

（n∈N₊）时h（x）的中介元为x_n，且S_n=

，若对任意的n∈N+，都有S_n＜

，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。