Question

2．$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$（a＞0）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 因为表达式中含有参数，所以要对参数进行分类讨论，最后再综合．

解答 解：该极限值与a的取值有关，分类讨论如下：
当a=1时，$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=0恒成立，所以极限为0，
当a＞1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a-{a}^{-1}}{1+{a}^{-n}}$=a-$\frac{1}{a}$；
当0＜a＜1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=0，
综合以上讨论，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$，
故填：$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了极限及其运算，对于含参的极限问题应对参数进行分类讨论，属于中档题．