Question

（08年北京卷理）（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列

．

对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义

．

设是每项均为正整数的有穷数列，令．

（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．

Answer 1

【标准答案】: （Ⅰ）解：，

，

；

，

．

（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，

则为，，，，，

从而

．

又，

所以

，

故．

（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．

当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则

．

当存在，使得时，若记数列为，

则．

所以．

从而对于任意给定的数列，由可知

．

又由（Ⅱ）可知，所以．

即对于，要么有，要么有．

因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．

即存在正整数，当时，。

【高考考点】: 数列

【易错提醒】: 入口出错

【备考提示】: 由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，新数列的前几项一定不难出错，它出错，则整体出错。