Question

（2013•浙江二模）已知函数f（x）=

(x-a)2

lnx

（其中a为常数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；
（Ⅱ） 当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃．证明：x₁+x₃＞

2

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数不等式求单调区间．
（Ⅱ）利用导数结合函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，构造函数，利用单调性去判断．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=

x(2lnx-1)

ln2x

令f'（x）=0可得x=

e

．列表如下：

x	（0，1）	(1， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	减	减	极小值	增

单调减区间为（0，1），(1，

e

)；增区间为(

e

，+∞)．------------（5分）
（Ⅱ）由题，f′(x)=

(x-a)(2lnx+ a x -1)

ln2x

对于函数h(x)=2lnx+

a

x

-1，有h′(x)=

2x-a

x2

∴函数h（x）在(0，

a

2

)上单调递减，在(

a

2

，+∞)上单调递增
∵函数f（x）有3个极值点x₁＜x₂＜x₃，
从而hmin(x)=h(

a

2

)=2ln

a

2

+1＜0，所以a＜

2

e

，
当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0，
∴函数f（x）的递增区间有（x₁，a）和（x₃，+∞），递减区间有（0，x₁），（a，1），（1，x₃），
此时，函数f（x）有3个极值点，且x₂=a；
∴当0＜a＜1时，x₁，x₃是函数h(x)=2lnx+

a

x

-1的两个零点，----（9分）
即有

2ln?x1+ a x1 -1=0 2ln?x3+ a x3 -1=0

，消去a有2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃
令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零点x=

1

e

，且x1＜

1

e

＜x3
∴函数g（x）=2xlnx-x在(0，

1

e

)上递减，在(

1

e

，+∞)上递增
要证明    x1+x3＞

2

e

?x3＞

2

e

-x1?g(x3)＞g(

2

e

-x1)
因为g（x₁）=g（x₃），所以即证g(x1)＞g(

2

e

-x1)?g(x1)-g(

2

e

-x1)＞0
构造函数F(x)=g(x)-g(

2

e

-x)，则F(

1

e

)=0
只需要证明x∈(0，

1

e

]单调递减即可．而F′(x)=2lnx+2ln(

2

e

-x)+2，F″(x)=

2( 2 e -2x)

x( 2 e -x)

＞0，所F'（x）在(0，

1

e

]上单调递增，
所以F′(x)＜F(

1

e

)=0．
∴当0＜a＜1时，x1+x3＞

2

e

．--------（15分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的极值问题，综合性较强，运算量较大．