Question

9．在直角坐标系xOy中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），点A（8，0），B（ksinθ，m）（0≤θ≤$\frac{π}{2}$，m∈R）
（1）若$\overrightarrow{AB}$$⊥\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，求向量$\overrightarrow{OB}$的坐标；
（2）若向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，且当k＞4时，msinθ取得最大值4，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知，写出$\overrightarrow{AB}$，然后，根据垂直条件，求解即可；
（2）设$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{a}$，然后，借助于向量运算，构造关系式，msinθ=（16-2ksinθ）sinθ，然后换元配方，进行求解．

解答 解：（1）∵点A（8，0），B（ksinθ，m），
∴$\overrightarrow{AB}$=（ksinθ-8，m）
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，
∴-ksinθ+8+2m=0，①
∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，
∴8=$\sqrt{（ksinθ-8）^{2}+{m}^{2}}$  ②
联立①②，得
ksinθ-8=±$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∴ksinθ=8±$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∴m=±$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OA}$=（8+$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）或（8-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）．
（2）∵向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，
∴$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{a}$，
∴（ksinθ-8，m）=λ（-1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ksinθ-8=-λ}\\{m=2λ}\end{array}\right.$，
∴ksinθ-8=-$\frac{m}{2}$，
∴m=16-2ksinθ，
∴msinθ=（16-2ksinθ）sinθ
=-2ksin²θ+16sinθ
设sinθ=x，
∴f（x）=-2kx²+16x
=-2k（x-$\frac{4}{k}$）²+$\frac{32}{k}$，
由于k＞4，则$\frac{4}{k}$＜1，
∴$\frac{32}{k}$=4，
∴k=8，sinθ=1，t=0，
∴B（8，0），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=64．

点评 本题重点考查了平面向量的坐标运算，考查平面向量的加减和数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，同时考查三角函数的值域及二次函数的最值的求法，属于中档题．