题目内容
在四面体ABCD中，AB=3，AC=AD=2，且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，求证：平面BCD⊥平面ADC．
分析：取CD的中点E，连接BE，通过计算证明BE⊥CD，AE⊥CD，推出AE⊥面BCD，推出平面BCD⊥平面ADC．
解答：
证明：取CD的中点E，连接BE
∵AC=AD，CE=ED，∠DAC=60
∴AE⊥CD，AC=AD=CD
∴CD=2，CE=ED=
CD=1，AE2=AC2-CE2=4-1=3
BC2=BD2=AC2+AB2-2AC•BCcs∠BAC=4+9-2•2•3•cos60°=7，
△BCD是等腰三角形．
∴BE⊥CD，BE∩AE=E，∴CD⊥平面ABE，
且BE2=BC2-CE2=7-1=6
∴AE2+BE2=3+6=9=AB2
∴BE⊥AE，∴AE⊥面BCD
∴平面BCD⊥平面ADC．
证明：取CD的中点E，连接BE∵AC=AD，CE=ED，∠DAC=60
∴AE⊥CD，AC=AD=CD
∴CD=2，CE=ED=
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BC2=BD2=AC2+AB2-2AC•BCcs∠BAC=4+9-2•2•3•cos60°=7，
△BCD是等腰三角形．
∴BE⊥CD，BE∩AE=E，∴CD⊥平面ABE，
且BE2=BC2-CE2=7-1=6
∴AE2+BE2=3+6=9=AB2
∴BE⊥AE，∴AE⊥面BCD
∴平面BCD⊥平面ADC．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
在四面体ABCD中，设AB=1，CD=2且AB⊥CD，若异面直线AB与CD间的距离为2，则四面体ABCD的体积为（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是
将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD（如图2），则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（ ）
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