Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（1）求角B的值；
（2）若b=5，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用等差中项的定义找出等量关系，再利用三角恒等变换化简求解；
（2）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，实现了边向角的转变，进而转化成三角函数求值域问题求解．

解答：解：（1）因为acosC，bcosB，ccosA成等差数列，所以acosC+ccosA=2bcosB，（2分）
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，即sin（A+C）=sinB=2sinBcosB．
因为sinB≠0，∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，所以B=

π

3

．（6分）
（2）∵

a

sinA

=

b

sin π 3

=

10

3

，
∴a=

10

3

sinA，
同理c=

10

3

sinC，
因为B=

π

3

，所以A+C=

2π

3

，
所以△ABC周长=a+b+c
=5+

10

3

sinC+

10

3

sinA
=5+

10

3

sin(

2π

3

-A)+

10

3

sinA
=5+5cosA+5

3

sinA
=5+10sin(A+

π

6

)（12分）
因为0＜A＜

2π

3

，所以

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
所以△ABC周长的取值范围为（10，15]．（14分）

点评：本题综合考查了数列和三角函数以及解三角形的有关知识，考查了学生的分析能力和运算能力．