题目内容

直线 $数学公式$ 交椭圆 $数学公式$ 于A，B两点，若AB中点横坐标为1，则b=________．

$\text{[math]}$
分析：设A，B点的坐标，代入椭圆方程，作差．结合直线的斜率为 $\text{[math]}$ ，AB中点横坐标为1，可求AB中点纵坐标，从而得解．
解答：由题意，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
两式相减，结合直线的斜率为 $\text{[math]}$ ，AB中点横坐标为1
∴AB中点纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
将点（1， $\text{[math]}$ ）代入直线 $\text{[math]}$ 得 b= $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点及直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程得方法可以简化基本运算

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，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
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（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

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（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

（本小题满分12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），直线交椭圆于A、B两个不同点。

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围；