Question

【题目】若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“速增函数”.

（1）试判断函数与是否是“速增函数”；

（2）若函数为“速增函数”，求的取值范围；

（3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有.

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据定义进行判断即可，利用特殊值，举出反例；

（2）根据定义可知，即对一切正数恒成立，可得，由，可得

得出，最后求出的范围；

（3）根据定义，令，可知，即，故对于正整数与正数，都有，进而得出结论．

（1）对于函数，当，时，，

又，

所以，

故是“速增函数”.

对于函数，当时，，

故不是“速增函数”.

（2）当，时，由是“速增函数”，

可知，即对一切正数恒成立，

又，可得对一切正数恒成立，所以.

由，可得，

即

，

故，又，故，

由对一切正数，恒成立，可得，即．

综上可知，的取值范围是．

（3）由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，，

都有，，且，

令，可知，即，

故对于正整数与正数，都有，

对任意，，可得，又，

所以，

同理，

故．