Question

【题目】设，函数，其导数为

（1）当时，求的单调区间；

（2）函数是否存在零点？说明理由；

（3）设在处取得最小值，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）在的单调递减，在单调递增；（2）故时，存在唯一零点；（3）．

【解析】

试题（1）求单调区间，只要求得导数，解不等式确定增区间，确定减区间；（2），令，通过它的导数研究的单调性，然后确定函数值，，从而说明有唯一零点（也可直接用零点存在定理确定，不必要研究单调性）；（3）首先确定，由（2）的唯一零点就是的最小值点，由可把用表示出来，接着计算，把用的代数式替换后得到一个的函数，然后再利用导数的知识求得最值．

试题解析：（1）当时，，由于，且时，；时，，所以在的单调递减，在单调递增

（2），令，所以

因为，所以，所以在单调递增

因为，又

所以当时，，此时必有零点，且唯一；

当时，，而

故时，存在唯一零点

（3）由（2）可知存在唯一零点，设零点为

当时，；当时，，

故在的单调递减，在单调递增

所以当时，取得最小值，由条件可得，的最小值为

由于，所以

所以

设

则

令，得；令，得

故在的单调递增，在单调递减，所以

故的最大值是