题目内容
【题目】在四棱锥
中， 
， 
， 
， 
， 
是棱
的中点，且
.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）若
为棱
上一点，满足
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析；（2）余弦值为
.
【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，先找线线垂直， 
， 
，所以
，
以
，再由
得到线面垂直；（2）由空间向量坐标系的方法，得到两个半平面的法向量，由向量的夹角公式得到二面角的余弦值.
解析：
（Ⅰ）取
中点
，连接
，
由已知
， 
，故
为平行四边形.
所以
，因为
，故
.
又
，所以
，
，所以
.
由已知可求， 
，所以
，所以
.
又
，所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，又
，
以点
为原点建立空间直角坐标系（如图），可得
， 
， 
， 
.
由
为棱
的中点，得
.
向量
， 
， 
， 
.
由点
在棱
上，设
， 
.
故
.
由
，得
，
因此， 
，解得
.
即
.
设
为平面
的法向量，则
即
不妨令
，可得
为平面
的一个法向量.
取平面
的法向量
，
则
.
易知，二面角
是锐角，所以其余弦值为
.
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【题目】某地随着经济的发展，居民收入逐年增长.该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表：
年份 |
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储蓄存款 （千亿元） |
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为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令
， 
），得到下表：
时间 |
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储蓄存款 |
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（Ⅰ）求
关于
的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出
关于
的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到
年年底，该地储蓄存款额可达多少？
附：线性回归方程
，其中
， 
.
