Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1；点P是椭圆上一点，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为-

15

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），利用P到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为-

15

，建立方程组，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面积=

1

2

×2c×y，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则a-c=1，a+c=5
∴a=3，c=2
∴b=

a2-c2

=

5

∵P到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1，且在x轴上方，直线PF₂的斜率为-

15

．
∴

(x+c)2+y2 =5 (x-c)2+y2 =1 y x-c =- 15 y＞0

，∴

x= 385 -1 8 c= 385 +1 8 y= 15 4

∵P到其左、右两个焦点F₁，F₂的距离分别为5和1，∴2a=6，∴a=3
∴b²=a²-c²=

75- 385

8

∴椭圆E的方程为

x2

9

+

y2

75- 385 8

=1；
（Ⅱ）△F₁PF₂的面积=

1

2

×2c×y=

385 +1

8

×

15

4

=

5 231 + 15

32

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的面积的计算，属于中档题．