题目内容
（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在
轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率为
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点
作直线
交椭圆C于
、
两点，交
轴于
点，若
，
，求证：
.
【答案】
（1）
（2）
见解析；
【解析】第一问中利用：设椭圆C的方程为
（
＞
＞
）
抛物线方程化为
，其焦点为
，
则椭圆C的一个顶点为，即
由
，∴
第二问中，易求出椭圆C的右焦点
，
设
，由题意，显然直线
的斜率存在，
设直线的方程为 
，代入方程 并整理，
得 
借助于韦达定理和向量关系得到坐标关系，消元法求解得到
（1）解：设椭圆C的方程为 （＞＞），……1分
抛物线方程化为，其焦点为， ………………2分
则椭圆C的一个顶点为，即 ………………3分
由，∴，
所以椭圆C的标准方程为 ………………6分
（2）证明：易求出椭圆C的右焦点，
……………7分
设，由题意，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为 ，代入方程 并整理，
得 …………9分
∴
，
………………10分
又，
，
，
，
，而
，
，
即
，
∴
，
，
……………………12分
所以 
………14分
练习册系列答案
小学课时作业全通练案系列答案
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