Question

【题目】如图，设为抛物线上不同的四点，且点关于轴对称，平行于该抛物线在点处的切线.

（1）求证：直线与直线的倾斜角互补；

（2）若，且的面积为16，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）设，则由导数的几何意义可得，于是可设直线的方程为，代入抛物线方程得到关于x的一元二次方程，然后根据斜率公式和根与系数的关系证得，即证得直线与直线的倾斜角互补．（2）由可得，由斜率公式可得，然后由弦长公式得，，再根据的面积为16得，，从而可得直线的方程．

详解：（1）设，

则．

设直线的方程为，

由消去y整理得，

因为直线与抛物线交于两点，

所以．

设，

则．

因为，

所以直线与直线的倾斜角互补．

（2）因为，

所以，

即，．

所以，

则，，

所以，

解得，

所以，

故，

解得．

所以当时，直线的方程为．