Question

设数列{a_n}(n＝1，2…)是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．

(1)若a₁＝4，d＝2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？

(2)设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d＝1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由；

(3)试问：数列{a_n}为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)数列是“封闭数列”，因为：，1分 　　对任意的，有 　　，3分 　　∵m＋n＋1∈N*于是，令，则有　4分 　　(2)解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使 　　成立，5分 　　于是有为整数，又是正整数．6分 　　若则，所以，7分 　　若，则，所以，8分 　　　若，则，于是 　　，所以，9分 　　综上所述，，显然，该数列是“封闭数列”．10分 　　(3)结论：数列为“封闭数列”的充要条件是存在整数，使．12分 　　证明：(必要性)任取等差数列的两项，若存在使，则 　　 　　故存在，使，14分 　　下面证明．当时，显然成立． 　　对，若，则取，对不同的两项，存在使， 　　即，这与矛盾， 　　故存在整数，使．16分 　　(充分性)若存在整数使，则任取等差数列的两项，于是 　　 　　由于为正整数，证毕．18分