Question

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若a≥1恒成立，求证：f（x）≤g（x）．

Answer 1

（1）解：当时，（x＞0），
∵x＞0，∴当0＜x＜2时，F'（x）＞0，当x＞2时，F'（x）＜0，
∴F（x）的增区间为（0，2），减区间为（2，+∞）；
（2）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x-a（x²+x）（x＞0），
则由，
解得．
∴当x∈时，h^′（x）＞0，h（x）在上增，
当x∈时，h^′（x）＜0，h（x）在上减．
∴当时，h（x）有极大值，
∵a≥1，∴，，∴．
而h（x）在（0，+∞）上的极大值也就是最大值．
∴，所以f（x）≤g（x）．
分析：（1）把a的值代入，求出函数F（x）的定义域，求其导函数，由导函数大于0求解x的取值范围，得函数的增区间，由导函数小于0求解x的取值范围，得其减区间；
（2）构造辅助函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数求该函数在其定义域内的最大值，由a的范围得到其最大值小于等于0，从而问题得证．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用构造函数法比较两个函数的函数值大小，在公共定义域范围内，两个函数的差函数的函数恒小于0，说明被减函数的函数值恒小于减函数的函数值，此题是中档题．