题目内容
（2009•河东区二模）已知
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π)．
（1）求证：
+
与
-
互相垂直；
（2）若k
+
与
-k
大小相等（其中k为非零实数），求β-α．
| a |
| b |
（1）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）若k
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由条件求出
+
与
-
的坐标，计算(
+
)•(
-
)的值等于零，从而证得结论．
（2）先求出k
+
与
-k
的解析式，由|k
+
|=|
-k
|得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α），求得cos（β-α）=0从而得到β-α的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）先求出k
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：（1）由
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)，
得
+
=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，
-
=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，
又(
+
)•(
-
)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0．
∴(
+
)⊥(
-
)．
（2）∵k
+
=(kcosα+cosβ，ksinα+sinβ)，
∴|k
+
|=
，
同理∴|
-k
|=
，
由|k
+
|=|
-k
|得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α），
又k≠0，所以cos（β-α）=0，因0＜α＜β＜π，所以β-α=
．
| a |
| b |
得
| a |
| b |
| a |
| b |
又(
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）∵k
| a |
| b |
∴|k
| a |
| b |
| k2+2kcos(β-α)+1 |
同理∴|
| a |
| b |
| 1-2kcos(β-α)+k2 |
由|k
| a |
| b |
| a |
| b |
又k≠0，所以cos（β-α）=0，因0＜α＜β＜π，所以β-α=
| π |
| 2 |
点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的条件，求向量的模的方法，属于中档题．
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