Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足
（1）求出a₁的值，并用n与a_n表示出a_n+1
（2）求证存在一个等比数列{b_n}，使得{a_nb_n}是一个公差为3的等差数列
（3）试直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把n=1代入条件可求得a₁，由，可得，两式相减整理后可得a_n+1
（2）由，得，于是=3，令，即可满足题意；
（3）由（2）可求得a_n，从而得到，利用基本不等式可求得其最小值，注意考虑n的取值范围；
解答：（1）解：由条件，n=1时，S₁=2-a₁-1，解得；
∵①，∴②，
②-①，得-，即，
所以；
（2）证明：∵，∴，
则=3，
令，∵对一切n∈N^*恒成立，
所以存在等比数列{b_n}，使得{a_nb_n}是一个公差为3的等差数列；
（3）解：（n∈N^*）的最小值为，
由（2）知，所以{2ⁿa_n}为公差为1的等差数列，2ⁿa_n=1+（n-1）•1=n，
所以，又，
所以=3×2ⁿ+，
当即2ⁿ=10时取等号，
由于n∈N^*，且n=3时=，n=4时，=，
所以所求最小值为．
点评：本题考查由数列递推式求数列通项、等差关系的确定，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．