题目内容
矩形
的中心在坐标原点，边
与
轴平行，=8，
=6.
分别是矩形四条边的中点，
是线段
的四等分点,
是线段
的四等分点.设直线
与
,
与
,
与
的交点依次为
.
（1）求以
为长轴，以
为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.
（3）设线段的
（
等分点从左向右依次为
，线段的等分点从上向下依次为
，那么直线
与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
【答案】
（1）
；（2）详见解析；（3）
【解析】
试题分析：根据长轴长
,短轴长
,可求出椭圆的方程；根据点
的坐标可写出直线
的方程，同理也可写出直线
的方程，再求出它们的交点
的坐标，验证在椭圆上即可得证；类比（2）的结论，即可得到直线
与直线的交点一定在椭圆Q上．
试题解析：
根据题意可知，椭圆的焦点在
轴上，可设其标准方程为
，
因为长轴长,短轴长，所以
，
所以所求的椭圆的标准方程为：．
由题意知，
可得直线的方程为
，直线的方程为
，
联立可解得其交点
，将的坐标代入椭圆方程成立，即点在椭圆上得证．
另法：设直线、
交点
，
由
三点共线得：
①
由
三点共线得：
②
①②相乘，整理可得
，即
所以L在椭圆上．
（3）类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．
考点：本题考查了直线的方程，椭圆的方程的求解方法，以及直线与圆锥曲线的位置关系．
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与
轴平行，
=6.
分别是矩形四条边的中点，
是线段
的四等分点,
是线段
的四等分点.设直线
与
,
与
,
与
的交点依次为
.
为长轴，以
为短轴的椭圆Q的方程；
（
等分点从左向右依次为
，线段
，那么直线
与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
，离心率e＝
，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．