Question

（2007•成都一模）已知等差数列{a_n}满足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）设Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

(n∈N*)，若Tn+

2n+3

2n

-

1

n

＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a_n}、数列{b_n}的公差与公比，a₁=1．由题可知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b_n}的前三项，从而可得（2+d）²=2（4+2d），根据a_n+1＞a_n，可确定公差的值，从而可求数列{a_n}的通项，进而可得公比q，故可求{b_n}的通项公式
（Ⅱ）表示出Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，利用错位相减法求和，进而问题可转化为3-

1

n

＜c恒成立，利用(3-

1

n

)在N^*是单调递增的，即可求得c的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a_n}、数列{b_n}的公差与公比，a₁=1．
由题可知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{b_n}的前三项，
∴（2+d）²=2（4+2d）⇒d=±2．
∵a_n+1＞a_n，
∴d＞0．
∴d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）．
由此可得b₁=2，b₂=4，q=2，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①
∴

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

．②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

．
∴Tn=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．
∴Tn+

2n+3

2n

-

1

n

=3-

1

n

．
∵(3-

1

n

)在N^*是单调递增的，
∴(3-

1

n

)∈[2，3)．
∴Tn+

2n+3

2n

-

1

n

=3-

1

n

＜3
∴满足条件Tn+

2n+3

2n

-

1

n

＜c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c=3．

点评：本题以等差数列与等比数列为载体，考查数列通项公式的求解，考查数列与不等式的综合，考查错位相减法求数列的和，综合性强